MENTAL vs. Principia Mathematica de Russell & Whitehead

MENTAL vs. PRINCIPIA
MATHEMATICA DE
RUSSELL & WHITEHEAD

“El mundo ha sido construido por medio de la lógica sin apelar casi a la experiencia concreta” (Bertrand Russell)

“La lógica es la esencia de la filosofía” (Bertrand Russell)

“A la lógica le concierne el mundo real tan ciertamente como a la zoología, aunque con características más abstractas y generales” (Bertrand Russell)

Principia Mathematica, de Russell y Whitehead
“Principia Mathematica” (PM) es una monumental obra (de tres volúmenes y casi 2.000 páginas) escrita por Alfred North Whitehead y Bertrand Russell durante un periodo de 10 años (entre 1900 y 1910), y publicada entre 1910 y 1913. Fue escrita utilizando el principio del logicismo, la visión de que la matemática se reduce a la lógica formal:

La matemática es una subdisciplina de la lógica formal.
Los conceptos matemáticos (como número o conjunto) son conceptos derivados de la lógica y son definibles en términos lógicos.
Todas las verdades matemáticas se pueden expresar como verdades lógicas. Por ejemplo, las expresiones 2+2 = 4 y a∈{a, b} son verdades lógicas.
Las verdades lógicas son universales.
Los teoremas matemáticos (como el principio de inducción) son teoremas lógicos.
La notación matemática es una notación lógica.

Russell y Whitehead eligieron la lógica como fundamento de la matemática por varias razones:

Porque creían que los conceptos lógicos y las demostraciones lógicas aportaban simplicidad y claridad.
Porque creían que la lógica constituía un sólido fundamento para la matemática.
Porque la lógica permitía construir una “matemática pura”, libre de elementos no lógicos.
Porque las verdades lógicas son verdaderas en virtud de su forma, independientes de su contenido. Por ejemplo, la expresión p∨¬p es verdadera, independiente del valor de p (una proposición, que puede ser verdadera o falsa).
Porque las verdades lógicas son conocimientos a priori, sin necesidad de apelar a la experiencia.

Russell creía (como Wittgenstein) que la lógica era un nivel trascendente de la realidad, el reino platónico y universal de todas las posibilidades, la morada eterna de la verdad. La lógica es la ciencia universal, el fundamento de todas las ciencias. El estudio y contemplación de la lógica conduciría al hombre al reino de lo verdadero, absoluto e inmutable.

PM es considerado uno de los libros más influyentes sobre lógica desde el Organon de Aristóteles y el Grundgesetze der Arithmetik (Fundamentos de la Aritmética) de Frege.

El logicismo fue intuido por Leibniz, que planteó la necesidad de un lenguaje formal universal que trascendiera la imprecisión del lenguaje humano y que sirviera para formalizar el razonamiento. Pero fue Frege quien intentó su desarrolló en detalle al elaborar su “Fundamentos de la Aritmética” mediante la lógica. Frege, con la invención de la lógica de predicados, fue el fundador de la lógica moderna, la lógica matemática. Frege usó la lógica de predicados y una versión ingenua de la teoría de conjuntos para formalizar la aritmética. Frege es considerado el fundador de la filosofía analítica, la filosofía basada en el análisis lógico del lenguaje.

Russell y Whitehead intentaron llevar a cabo lo que se propuso Frege con la aritmética y extenderlo a otras ramas de la matemática. Para ello establecieron 4 axiomas lógicos y 2 reglas de inferencia para derivar todos los teoremas y propiedades fundamentales. La notación que utilizaron no fue la de Frege en su Begriffsschrift (Conceptografía) porque era muy compleja (era de tipo gráfico bidimensional). En su lugar, optaron por la notación que presentó Peano en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 (el mismo Congreso en el que Hilbert planteó sus famosos 23 problemas matemáticos).

La definición de número natural fue esencialmente la misma que la de Frege, pero, a diferencia de Frege, trataron de evitar sus aspectos filosóficos. Los números naturales se identificaban como conjuntos de conjuntos, y las operaciones aritméticas se expresaban en términos de operaciones entre conjuntos, como unión, intersección y diferencia.

Temas tratados en PM

Los temas matemáticos principales tratados en PM son:

Aritmética finita e infinita.
Clases, subclases, operaciones con clases.
Relaciones, subrelaciones, operaciones con relaciones, relaciones inductivas.
Selecciones.
Series finitas e infinitas. Series relacionales. Series continuas.
Teoría de la medida.
Teoría de la deducción.
Tipos lógicos y tipos relativos.
Generalización de los ordinales transfinitos de Cantor mediante los relation-numbers (números de las relaciones o estructuras) y la relation-arithmetic (aritmética de las relaciones).

La aritmética de las relaciones es una generalización de la aritmética que suministra una técnica simbólica necesaria para formalizar estructuras mediante las operaciones de suma, producto y exponenciación. Los números ordinales transfinitos están contemplados en esta nueva aritmética.

Este tipo de aritmética generalizada apenas ha recibido atención. En “My Philosophical Development” (1959), Russell se lamenta de la falta de interés en su aritmética de relaciones. Según Russell, fue la principal contribución de PM, tanto a nivel matemático como filosófico. Solo recibió atención por parte de Tarski, que redenominó los relation-numbers como “relation types” y los utilizó para formalizar un álgebra de tipo general.

Teoría de tipos

Russell descubrió en Junio de 1901 (mientras escribía “Principles of Mathematics”) una contradicción lógica en la lógica de la teoría de conjuntos de Frege de los Fundamentos de la Aritmética. Es lo que hoy se conoce como “paradoja de Russell” y es la siguiente:

Para Russell, todas las paradojas tienen como característica común la autorreferencia, y para eliminar toda posibilidad de autorreferencia inventó su famosa “teoría de tipos”, que establece una jerarquía de objetos:

Los objetos ordinarios son de tipo 0.
Los conjuntos de objetos son de tipo 1.
Los conjuntos de conjuntos de objetos son de tipo 2.
En general, los conjuntos de conjuntos de tipo n son de tipo n+1.
Un objeto de un cierto tipo no puede ser miembro de un objeto del mismo tipo.

Esta es la teoría de tipos simple (de 1903) publicada en “Principles of Mathematics”. La teoría de tipos ramificada (de 1908), publicada en su artículo “Mathematical Logic as Based on the Theory of Types”, añade a las relaciones jerárquicas entre conjuntos, relaciones jerárquicas entre predicados:

Los objetos son de tipo 0.
Los predicados de objetos son de tipo 1.
Los predicados de predicados son de tipo 2.
En general, los predicados de predicados de tipo n son de tipo n+1.
Un predicado de un cierto tipo no puede aplicarse a un predicado del mismo tipo.

Una última teoría de tipos la publicó en el primer volumen de PM (1910), concretada en el axioma de reducibilidad.

La teoría de tipos de Russell ha sido criticada, especialmente la ramificada y la del axioma de reducibilidad, por ser compleja de aplicar y por su dudosa eficacia para eliminar toda clase de paradojas.

Russell, en Introduction to Mathematical Philosophy (1920), ya manifiestó sus dudas sobre la teoría de tipos, donde reconoce que esta teoría es confusa y oscura.

El sistema axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo resolvió las paradojas de la teoría de conjuntos (incluida la paradoja de Russell) de una manera más sencilla: mediante restricciones en el axioma de comprensión −toda propiedad define un conjunto, el formado por los elementos que tienen esa propiedad−, por lo que disminuyó progresivamente el interés en la teoría de tipos.

Fundamentos lógicos de PM

4 axiomas de la lógica proposicional (basadas en la implicación material p→q = ¬p∨q):
1. (p∨p)→p
2. p→(p∨q)
3. (p∨q)→(q∨p)
4. (p→q)→((r∨p)→(r∨q))
2 reglas lógicas de transformación:
1. Regla de sustitución: una fórmula que contenga una variable proposicional puede sustituirse por una fórmula.
2. Regla de separación (modus ponens): de p y de p→q, se deriva q.
3 axiomas de la teoría de conjuntos.
1. Axioma del infinito.
  Existe un conjunto con un número infinito de elementos, es decir, existe un conjunto que puede ponerse en relación biyectiva con un subconjunto propio de sí mismo. Este axioma es necesario para derivar los números reales.
2. Axioma de elección.
  Dada una colección de conjuntos, existe otro conjunto que puede formarse eligiendo un elemento de cada conjunto. Este axioma, evidente para una colección finita de conjuntos, está pensado para una colección infinita de conjuntos.
3. Axioma de reducibilidad.
  Para cualquier propiedad que pertenezca a un orden por encima del más bajo, existe una propiedad coextensa (es decir, una propiedad que es poseída por exactamente los mismos objetos) de orden 0.
  
  Este axioma se introdujo para evitar paradojas, principalmente la paradoja de Russell. Este axioma es una aplicación de la teoría de tipos, teoría que restringe la noción de “expresión bien formada”: un conjunto no puede incluir a conjuntos de su mismo tipo, y una propiedad no puede ser una propiedad de su mismo tipo.

A partir de estos axiomas y reglas, se establecen los siguientes conceptos:

Un teorema es una fórmula derivable de los axiomas (o de otros teoremas) aplicando las reglas de transformación.
Una demostración formal es una secuencia de fórmulas, cada una de las cuales es un axioma o puede derivarse de las fórmulas anteriores de la secuencia mediante las reglas de transformación.
Los axiomas y teoremas son tautologías, es decir, son válidas universalmente, independientemente de la verdad o falsedad de las variables proposicionales.
La lógica proposicional es completa. Los axiomas lógicos y las reglas de transformación son suficientes para generar todos los teoremas.

Aspectos positivos de PM

Popularizó la lógica matemática moderna, principalmente por la difusión del cálculo de predicados (inventado por Frege), de gran poder expresivo.
Tuvo cierto éxito al demostrar muchos teoremas de la teoría de conjuntos, de la aritmética y de la teoría elemental de la medida.
Introdujo nuevos conceptos como las funciones proposicionales, las descripciones definidas, la teoría de tipos lógicos y la aritmética de las relaciones (relation-arithmetic). Estos conceptos abrieron el camino para futuras abstracciones y generalizaciones.
- Una función proposicional es una función con variables proposicionales y que produce un valor de verdad para valores de verdad de los argumentos.
- Una descripción definida es la descripción de un objeto mediante predicados.
- Un tipo lógico es el dominio de significación de una expresión proposicional. Una expresión proposicional no puede hacer referencia a otra expresión proposicional del mismo tipo.
- Con la aritmética de las relaciones, PM generalizó la aritmética y condujo a una nueva visión de la noción de estructura.
Sirvió para dar impuso a la investigación sobre los fundamentos de la matemática.
Demostró el poder deductivo de los sistemas axiomáticos formales, abriendo el camino a la metalógica, a la metamatemática y a la teoría de la ciencia o metaciencia. Puso los cimientos para el descubrimiento de conceptos metateóricos como los de Gödel, Church y Turing.
Mediante la lógica consiguió establecer relaciones entre filosofía, lingüística y matemática.
Estableció conexiones entre el logicismo y las ramas principales de la filosofía: metafísica y epistemología.
Contribuyó a clarificar no solo al lenguaje matemático, sino también al lenguaje ordinario.
Impulsó la filosofía analítica inaugurada por Frege, la filosofía basada en el análisis del lenguaje.

Aspectos negativos de PM

La notación utilizada en PM es extraña, poco intuitiva y está hoy día totalmente superada con la notación matemática actual. Cuando PM fue escrita, todavía no habían aparecido importantes desarrollos en lógica matemática. Un lector, con los actuales conceptos lógicos puede tener dificultades para entender la obra.

Por ejemplo, utilizó la notación de Peano de puntos para indicar la precedencia en las operaciones, cuando hora utilizamos paréntesis.
La teoría de tipos −como hemos comentado anteriormente− es compleja de aplicar.
Carnap, en “Logicist Foundations of Mathematics” [1983], descubrió que los axiomas del infinito, de elección y el de reducibilidad no eran de tipo lógico.
Según Gódel, el formalismo de PM no tiene una sintaxis precisa.
Las posibles interpretaciones (en el sentido de la teoría de modelos) están restringidas, pues todas se presentan solo en términos de valores de verdad.
La pretensión de formalizar la matemática mediante la lógica se vino abajo con la publicación de Gódel, en 1931, de un teorema metamatemático: “Sobre proposiciones formalmente indecibles de los Principia Mathematica y sistemas afines”, que demostró que tal empeño era inútil, pues todo sistema axiomático formal que incluya a los números naturales es incompleto, es decir, que hay proposiciones indecidibles, en el sentido de que no puede demostrarse su verdad ni su falsedad. Y tampoco puede demostrar su propia consistencia.
Para Hermann Weyl, el sistema de PM es una especie de paraíso lógico, pero más complejo que la teoría axiomática de conjuntos como fundamento de la matemática.
Según el logicismo, la matemática es reducible a la lógica, por lo que tiene un carácter analítico. Para los intuicionistas (como Brower y Poincaré), la matemática tiene un carácter sintético, es decir, intuitivo y a priori. Los intuicionistas rechazan el axioma del infinito y el axioma de elección porque no existe el infinito actual.

MENTAL vs. Principia Mathematica
Fundamentación

Desde la época de los antiguos griegos, ha sido un tema permanente de debate la cuestión de la naturaleza de la matemática y su fundamento.

Como hemos comentado en el capítulo “El verdadero Significado del Teorema de Gödel” [ver Aplicaciones - Matemática], la conclusión general del teorema de incompletud de Gödel es que la matemática no se puede fundamentar desde lo superficial, desde la propia matemática (los axiomas formales) y que es necesario adoptar la actitud opuesta: fundamentar la matemática desde lo profundo, más allá de la matemática. MENTAL se fundamenta en los arquetipos primarios o primitivas semánticas universales, que son axiomas semánticos. Aunque MENTAL también utiliza axiomas formales de tipo general que relacionan las primitivas semánticas entre sí.

MENTAL no es solo el fundamento de la matemática; la trasciende. Es el fundamento de los mundos posibles. Según el principio de causalidad descendente, todo deriva de los arquetipos primarios, incluida la matemática.

PM sigue el logicismo. MENTAL sigue el universalismo, basado en arquetipos primarios. La lógica es solo una dimensión de la realidad, como los números y los conjuntos. Hay otras dimensiones adicionales. MENTAL se basa en 12 pares de primitivas opuestas o duales.

La lógica no puede ser fundamento de la matemática porque la lógica forma parte de la matemática. Los fundamentos de la matemática no pueden estar en la propia matemática sino en un nivel superior (o más profundo).

Para Russell, la lógica es lo más fundamental de todas las ciencias, donde se expresa el pensamiento puro, universal y trascendente, totalmente independiente de los contenidos. Para Russell, la matemática pura son sentencias que solo contienen variables y no literales. La matemática aplicada surge al sustituir las variables por literales, por elementos concretos.

Actualmente, el tema de que si la matemática es reducible o no a la lógica se considera un tema abierto. Para unos, el logicismo es un proyecto plausible, aunque con algunas modificaciones. Para otros, el fundamento filosófico y técnico de PM no es suficientemente sólido. Lo que sí hay consenso desde Euclides es que la matemática se puede derivar de un conjunto pequeño de nociones de axiomas y/o primitivas.

Con MENTAL este tema se aclara definitivamente. Solo los arquetipos primarios son trascendentales. La lógica no es la raíz de todo. La lógica (representada por la primitiva “Condición”) es solo una de las dimensiones de la realidad. Un ejemplo de lo absurdo de fundamentar la aritmética en la lógica es que la demostración de 1+1 = 2 necesitó más de 80 páginas (página 83 del volumen 2). Haciendo uso del típico humor inglés, sus autores comentaron que “Esta proposición es ocasionalmente útil”.

Otras características comunes o diferenciadoras

Magnitud de las obras.
PM y MENTAL son obras extensas, fruto de varios años de trabajo. La obra de MENTAL es extensa, pero no por su teoría, que es muy sencilla, sino por sus implicaciones filosóficas y universalistas.
Conexiones profundas.
Mediante la lógica, PM logró establecer ciertas relaciones entre matemática, filosofía y lingüística. Con MENTAL, al constar de arquetipos primarios, se establecen conexiones profundas entre filosofía, psicología y las ciencias formales como inteligencia artificial, matemática, informática, lingüística, cibernética y sistémica.
Verdad y falsedad.
PM utiliza una lógica bivalente, basada en los valores Verdadero y Falso. MENTAL no hace referencia al mundo real, sino al mundo abstracto, profundo y primario. Por eso no tienen sentido los conceptos de verdadero y falso, sino solo los conceptos de existencia o no existencia de expresiones en el espacio abstracto, y donde la existencia tiene grados (formalizados por un número real entre 0 y 1).
Arquetipos.
Según Russell, las verdades lógicas son verdaderas en virtud de su forma. Según Jung, los arquetipos son formas sin contenido. Los arquetipos primarios son formas sin contenido. Las formas son inexpresables. Solo son expresables con contenidos concretos.

La afirmación de Russell “El mundo ha sido construido por medio de la lógica sin apelar casi a la experiencia concreta” debe ser sustituido por “El mundo ha sido construido por medio de los arquetipos primarios sin apelar casi a la experiencia concreta”.
Teoría de tipos.
Todo axioma debe ser autoevidente. El axioma de reducibilidad no es autoevidente, es de tipo artificial y no se justifica filosóficamente.

La teoría de tipos es innecesaria e inconveniente. En primer lugar porque establece limitaciones, y la matemática es un espacio de libertad y no puede estar restringida (o no puede restringirse a sí misma). “La esencia de la matemática es la libertad” (Cantor).

En segundo lugar porque cuando una expresión hace referencia a sí misma, tenemos una expresión fractal, una expresión verdaderamente interesante y rica, en donde aparece un patrón que se repite en todos los niveles. Por ejemplo, la expresión
representa a la expresión fractal infinita
En MENTAL no hay restricciones en la formación de expresiones. Las expresiones bien formadas se reducen a la sintaxis, independientemente del contenido.
Descripciones definidas y clases.
En PM se utilizan las notaciones:

(ιx) Φx (el x que cumple la propiedad Φx) (ι es la letra griega iota) xΦx (el conjunto de elementos x que cumplen la propiedad Φx)
Nota; la primera x lleva acento circunflejo (no se puede representar en html).

La notación moderna solo contempla la segunda expresión: {x | P(x)}. En el cálulo lambda de Church es λx.f(x).

En MENTAL la notación es
(el conjunto de elementos x que tienen la propiedad extrínseca o atributo P. Si solo hay uno, entonces eliminamos la simbología de conjunto:
Números naturales.
PM define el concepto de número natural mediante la lógica: el conjunto de todos los conjuntos que tienen el mismo tamaño. Pero el número natural es indefinible. Todo intento de definición conduce a la circularidad. El concepto de número es intuitivo: es un arquetipo primario. Para Russell y Whitehead, los números son conjuntos. Pero número y conjunto son arquetipos primarios (o dimensiones de la realidad) diferentes.
Números reales.
Los números reales pertenecen al mundo continuo. Solo son expresables algunas manifestaciones: los números racionales, y solo son describibles los números irracionales que tienen un patrón.
El infinito.
El infinito es solo potencial, no real. Solo puede describirse como infinitas expresiones que tienen el mismo patrón. El cardinal infinito se define de forma recursiva: (∞ =: ∞+1) y no tiene nada que ver con la lógica, sino con la aritmética (la suma) y la sustitución potencial.

La definición de conjunto infinito como “un conjunto que puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto de sí mismo” no tiene sentido. Un conjunto infinito puede ponerse en correspondencia con un subconjunto propio de sí mismo, pero eso no quiere decir que tengan el mismo número de elementos. Cuando los elementos de dos conjuntos finitos pueden ponerse en correspondencia biyectiva, tienen el mismo número de elementos. Pero esta propiedad no vale para conjuntos infinitos porque el infinito es una cualidad, no una cantidad. Por ejemplo, es evidente que los números pares es un subconjunto de los números naturales, y ambos tienen la misma cualidad: la de ser infinitos. No tiene sentido hablar de la cardinalidad de un conjunto infinito y de que hay infinitos de diferentes tamaños. Este fue precisamente el error de Cantor con su concepción de los números trasfinitos.
Estructuras.
En PM las estructuras se basan en una aritmética generalizada (la aritmética de las relaciones). En MENTAL, las estructuras surgen simplemente de la combinatoria de las primitivas.
Deducciones.
En PM, los axiomas lógicos tienen una doble función: como premisas para la derivación y como reglas de inferencia. En MENTAL, las inferencias se basan en las expresiones genéricas (parametrizadas o no).
Simplicidad.
Russell y Whitehead buscaron la máxima simplicidad lógica posible para la fundamentación de la matemática. Russell era ferviente partidario de seguir el principio de la navaja de Occam, es decir, de la máxima simplicidad posible en toda teoría, aunque este principio no pareció aplicarlo en su compleja e innecesaria teoría de tipos.

En la segunda edición de la obra, los autores hicieron la observación de que escribiendo todo mediante el operador lógico Nand (la barra de Sheffer) en lugar de las operaciones lógicas And, Or y Not, se haría aún más simple el sistema axiomático.

La barra de Sheffer se define así: p|q = ¬(p∧q). Su dual es la flecha de Peirce (o daga de Quine), que también permite definir las operaciones lógicas a partir de ella. Su definición es: p↓q = ¬(p∨q).

Pero la simplicidad debe ser conceptual, nunca definicional, que es lo que ocurre con la barra de Sheffer y su dual. Aceptar la barra de Sheffer o su dual viola claramente el principio de la navaja de Einstein: “Todo debe hacerse de la manera más simple posible, pero no más simple”. [ver Fundamentos − Principio de Economía.]

Conclusiones

PM, junto con la Conceptografía de Frege, fueron dos intentos de crear un lenguaje formal universal. MENTAL es conceptualmente y formalmente mucho más simple, poderoso y abierto que Principia Mathematica. MENTAL va más allá incluso de la matemática: es el lenguaje profundo que conecta y fundamenta todas las cosas.

Adenda
Más sobre PM

El proyecto PM fue concebido originalmente como una ampliación y profundización de la obra de Russell Principles of Mathematics, publicada en 1903. En esta obra, Russell lanzó la idea de que la matemática podría derivarse formalmente de la lógica, pero no realizó ning∨n intento en este sentido. Este intento se intentó materializar en PM.

Inicialmente, Russell y Whitehead pensaron que el proyecto logicista les llevaría un año para realizarlo, pero el trabajo se prolongó durante casi una década. Fue un proyecto ambicioso que requirió un esfuerzo títánico y persistente por parte de sus autores.

La obra fue publicada por Cambridge University Press, con la contribución financiera de la Royal Society de Londres y de los propios autores.

Una segunda edición apareció en 1925 (volumen 1), y 1927 (volúmenes 2 y 3), con una nueva y extensa introducción, y tres nuevos apéndices:

El apéndice A trataba sobre la teoría de la cuantificación.
El apéndice B trataba sobre la inducción matemática y la eliminación del axioma de reducibilidad, dejando abierto el tema de su posible sustitución por otro futuro axioma a establecer.
El apéndice C trataba sobre el principio de extensionalidad.

Russell continuó haciendo correcciones hasta 1949, que se incorporaron en la impresión de 1950. En 1962 se publicó en rústica un resumen con los 56 primeros capítulos.

PM solo llegó a formalizar la teoría de conjuntos, los números cardinales, los números ordinales y los números reales.

Aunque no se contempló el análisis matemático (el cálculo diferencial e integral), se tenía la convicción de que gran parte de él (y de la matemática en general) podía derivarse del sistema, pero estaba claro que esta tarea era muy grande.

Un cuarto volumen sobre geometría fue planeado pero nunca se completó debido a que sus autores admitieron estar “intelectualmente exhaustos”. Russell creía que la geometría también podría derivarse de la lógica y que, por lo tanto, se refutaría la teoría kantiana de la intuición a priori del espacio.

Russell trabajó principalmente en los aspectos filosóficos del proyecto (que reflejó en la introducción de la obra), en la teoría de las descripciones definidas y en la teoría de tipos. Ambos participaron en los aspectos técnicos. Whitehead inventó la mayor parte de la notación, excepto la que adaptó Russell de Peano, una notación más simple y lineal que la de Frege. El primer volumen fue trabajo de ambos, pero los otros dos fueron principalmente obra de Russell.

En sus últimos años, Russell estimó que quizás solo 6 personas habían leído y entendido la obra completa. PM es hoy de dominio público. Se puede encontrar en formato pdf en Internet.

Bibliografía

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